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哥德尔不完备定理

任何兼容形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题,因此通过推演不能得到所有真命题(即体系是不完备的)。


任何
逻辑自洽形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,它就不能用于证明它本身的兼容性。

https://zh.wikipedia.org/wiki/哥德尔不完备定理

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

- 1是自然数;

- 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);

- 对于每个自然数b、c,b=c当且仅当b的后继数=c的后继数;

- 1不是任何自然数的后继数;

- 任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理假设了数学归纳法的正确性)

若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。

 

更正式的定义如下:

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):

 

-X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射。

-x不在f的值域内。(对应上面的公理4)

-f为一单射。(对应上面的公理3)

- 若A为X子集, 并满足, x 属于A且

若a属于A, 则f(a) 也属于A

则A = X。      

https://zh.wikipedia.org/wiki/皮亚诺公理

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